мастер-класс «Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов»
статья по математике (4 класс) на тему
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| kopiya_master_klass.docx | 49.08 КБ |
| master-klass.pptx | 122.81 КБ |
Предварительный просмотр:
Мастер- класс «Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов»
1.Цели мастер- класса
В настоящее время приоритет математического образования остаётся актуальным.
Тема моего мастер – класса «Способы решения нестандартных математических задач как средство достижения планируемых результатов», а какова моя цель сегодня? (ответы участников мастер – класса). А ваша цель? (ответы участников мастер – класса)
- ознакомить учителей-слушателей курсов-с основными способами решения нестандартных математических заданий
- показать (совместно отработать)одиниз древнейших способов умножения многозначных чисел
2. Раскрытие темы
Важнейшие задачи образования в начальной школе ( формирование предметных и универсальных способов действий , обеспечивающих возможность продолжения образования в основной школе; воспитание умения учиться – способности к самоорганизации с целью решения учебных задач; индивидуальный прогресс в основных сферах личностного развития – эмоциональной, познавательной, регулятивной) реализуются в процессе обучения всем предметам. Однако каждый из них имеет свою специфику.
Предметные знания и умения, приобретённые при изучении математики в начальной школе, первоначальное овладение математическим языком являются опорой для изучения смежных дисциплин, фундаментом обучения в старших классах общеобразовательных учреждений .
Слова Э.Канта «Не мыслям надобно учить, а учить мыслить» относятся ко всем предметам, а к математике тем более, особенно в части решения нестандартных задач.
Исходя из общих положений ФГОС в целом и математического образования в частности, начальный курс математики призван решать различные задачи математического образования, в том числе:
- сформировать набор необходимых для дальнейшего обучения предметных и общеучебных умений на основе решения как предметных, так и интегрированных жизненных задач ;
- обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности , для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе;
- сформировать устойчивый интерес к математике на основе дифференцированного подхода к учащимся;
- выявить и развить математические и творческие способности на основе заданий, носящих нестандартный, занимательный характер.
В своём мастер – классе я хочу вас познакомить с некоторыми способами решения нестандартных задач и в практической части с нестандартным (решатчатым) методом умножения многозначных чисел, который вы можете показать ребятам.
Слайд 5 арифметический
В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический (аналитический) методы решения текстовых задач.
При арифметическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения последовательности действий и операций с имеющимися в тексте задачи (явно или косвенно) числами, величинами. Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестными, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью выполнения действий.
В качестве примера рассмотрим различные арифметические способы решения нестандартной (для младших школьников) задачи: «Для полива 8 яблонь и 4 слив мальчики принесли 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под сливы, если на полив одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на полив одной сливы?»
Если за исходное рассмотреть отношение между количеством деревьев (8 яблонь, 4сливы), то ответ на вопрос задачи может быть получен путем выполнения следующих действий.
- 8 : 4 = 2 (раз) — яблонь больше, чем слив;
- 2*3 = 6 (раз) — воды вылили больше под яблони;
- 1 + 6 = 7 (част.) — в общем объеме воды;
- 140 : 7 = 20 (вед.) — израсходовали на полив всех слив;
- 140 — 20 = 120 (вед.) — израсходовали на полив всех яблонь.
Если рассуждать, начиная с отношения, зафиксированного в тексте задачи последним (на полив яблони уходит воды в 3 раза больше), то цепочка будет другой.
1)8*3 = 24 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь;
2) 24 + 4 = 28 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь и
4слив;
- 140 : 28 = 5 (вед.) — нужно для полива одной сливы;
- 5*4 = 20 (вед.) — вылили под сливы;
5) 140 — 20 = 120 (вед.) — вылили под яблони.
Или:
- 5*3 = 15 (вед.) — нужно для полива одной яблони;
- 15*8 = 120 (вед.) — вылили под яблони;
- 140 — 120 = 20 (вед.) — вылили под сливы.
Заметим, что решение задачи арифметическим методом можно оформить по-разному: в вопросно-ответной форме, по действиям, по действиям с пояснениями, в виде таблицы.
Щёлк Всего 6 арифметических способов
Слайд 6 решение уравнением -алгебраический
При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения: после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, оно обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем (на основе выделенных в условии задачи зависимостей) составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни, не соответствующие условию задачи, отбрасываются. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязи его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.
Вернемся к задаче, в которой требуется определить количество ведер воды, израсходованное на полив слив и яблонь. Это можно узнать, если будет известно численное значение ведер воды, которое уходит на полив одной яблони и одной сливы. Обозначим через x количество ведер воды, вылитых под одну сливу, тогда на полив одной яблони нужно 3 x ведер воды. Так как полили 4 сливы, 8 яблонь и израсходовали 140 ведер воды, составим уравнение: 4x + 8*3х = 140. Решив его, получаем x = 5. Значит, для полива всех слив потребовалось 5*4 = 20 ведер воды, а яблонь — 140 — 20 = 120.
Проверку можно выполнить, соотнеся найденный результат с условием задачи или решив задачу другим способом или методом.
Известно, что в начальном курсе математики преобладает арифметический способ решения задач, алгебраический применяется значительно реже в силу недостаточного опыта обращения младших школьников с уравнениями.
Помимо указанных, в школьной практике используются и другие методы.
Слайд 7 графический
Задача Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Первый проехал 1/3пути, второй —5/8 пути. Произошла ли встреча велосипедистов?
Данная задача легко решается средствами арифметики: сложив две дроби и оценив полученное значение путем сравнения с единицей, ответим на вопрос задачи. Однако алгоритм сложения дробей с разными знаменателями изучается в курсе математики 6 класса и младшему школьнику неизвестен. Тем не менее, решение этой задачи вполне возможно осуществить и после изучения темы «Доли. Дроби» в начальном курсе математики. Если позволит время
Изобразим расстояние между пунктами отрезком, численное значение длины которого делится одновременно на 3 и на 8 — для конкретной задачи удобнее построить отрезок длиной 24 единичных отрезка.
Опираясь на чертеж, можно сформулировать ответ: «Встреча не произошла». Такой метод решения называется графическим.
Слайд 8 Практическийспособ
«В гараже 20 легковых и грузовых автомобилей, причем на каждую легковую машину приходится4 грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в гараже?»,
Щёлк Изобразим каждую машину символом-буквой. Известно, что на каждую легковую машину приходится 4 грузовые. Поэтому каждому символу, обозначающему легковую машину, поставим в соответствие четыре таких же символа — грузовые машины.
Щёлк дальше нетрудно сообразить, что 20 машин разделить на 5, получится 4 раза:
Щёлк Дальше подсчитаем количество легковых машин (4) и грузовых: 4*4=16(грузовых)
Слайд 9 Схематический
Задача 2. Собрался Иван-царевич на бой с трехглавым и треххвостым Змеем Горынычем. «Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом он может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста, но запомни: срубишь хвост — два вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь голову — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет». За какое наименьшее число ударов Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?
Разбирая условие задачи, составим схему:
Рубка Хвоста приводит к росту двух новых: Х- 2Х
Так как по условию задачи только рубка двух голов Змея одновременно приводит к их полной ликвидации, то для полной победы над Змеем необходимо добиться, чтобы у него оставалось только четное число голов. Поскольку Змей имеет 3 головы, то следует рубить ему хвосты так, чтобы это привело к получению еще трех голов. В связи с этим действия Ивана-царевича можно изобразить схематично.
На схеме буквой Х обозначен хвост, Г — голова, овалом обозначена одна рубка. Согласно условию задачи рубка одного хвоста (они обведены овалами в первой строке) приводит к тому, что на месте каждого хвоста вырастает 2 новых (вторая строка). Если срубить 3 раза по 2 хвоста, то на месте каждой пары срубленных хвостов вырастает по 1 голове. Итак, у Змея Горыныча было 3 головы, да еще 3 выросли за счет рубки хвостов. Все 6 голов можно разрубить парами, что и сделано на третьей строке.
Таким образом, Змей Горыныч побежден девятью ударами.
Слайд 10 табличный
Табличным способом оформляется практическое решение и целого класса логических задач — на установление отношений , например: «Беседуют трое друзей: Белов, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?»
Для решения задачи воспользуемся таблицей, отмечая по горизонтали фамилии, а по вертикали — цвет волос. По условию задачи Белов — не блондин, Чернов — не брюнет, а Рыжов — не рыжий. Это позволяет поставить минусы . 3 щелчка
фамилия , цвет волос
Предложение «Брюнет сказал Белову» означает, что Белов — не брюнет, поэтому поставим еще один минус.
фамилия , цвет волос
Очевидно, что Белов — рыжий, следовательно, Чернов и Рыжов соответственно блондин и брюнет.
фамилия , цвет волос
Ответ: Белов- рыжий, Чернов- блондин, Рыжов- чёрный.
Слайд 11 перебор
Графический и практический методы решения нестандартных математических задач в большей или меньшей степени имеют место в учебной деятельности младших школьников. Однако при их решении учащиеся чаще обращаются к методам упорядоченного перебора (полной индукции) и подбора. Рассмотрим его использование на примере задачи: «Можно ли найти два натуральных числа, из которых одно больше другого на 4, а их произведение равно 48?»
При решении этой задачи на начальной ступени рекомендуют воспользоваться методом полной индукции — рассмотреть все возможные варианты пар чисел, значение произведения которых равно 48, а затем выбрать подходящий (если таковой имеется). А данные перебора записать в виде таблицы.
Очевидно, что дальше вести перебор не имеет смысла. А потому, ответ нет. Хочу отметить, что ответ даём по вопросу: не то, что задача не имеет решения (мы не нашли такой пары чисел, удовлетворяющих условию задачи), а то, что «Нельзя найти два натуральных числа из которых одно больше другого на 4, а их произведение равно 48?»
Заметим, что математически решение данной задачи сводится к составлению и решению уравнения x «(x+ 4) = 48, которое так же не имеет решения в натуральном ряде чисел.
Слайд 12 предположение
Особо остановимся на методе решения текстовых арифметических задач, который называется предположение ответа или метод одного ложного предположения. Суть его состоит в следующем. Выдвигается гипотеза: пусть ответ задачи будет таким-то. Путем рассуждений и вычислений проверяется принятая гипотеза, т. е. устанавливается, выполняются ли при ней условия задачи. В случае, когда число не удовлетворяет условиям задачи, находят отклонение гипотезы от точного ответа: если отклонение отрицательно, т. е. гипотеза меньше ответа, то отклонение прибавляется к гипотезе; если гипотеза больше ответа, т. е. отклонение положительно, то оно вычитается из гипотезы; если отклонения нет, то гипотеза принимается за ответ задачи.
Рассмотрим задачу: «Отец обещал сыну за каждую правильно решенную задачу опускать в копилку 10 монет, а за каждую неправильно решенную задачу сын должен возвращать отцу по 5 монет. После того как было решено 20 задач, у сына в копилке оказалось 80 монет. Сколько задач сын решил неправильно и сколько без ошибок?»
Предположим, что 10 задач решено верно. Узнаем, сколько денег в копилке окажется при этом: 10*10 — 5*10= = 50 (мон.). Получили, что 50 Эту задачу можно решить также перебором.
Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический, практический и арифметический, графический и арифметический. В этом случае считают, что задача решена комбинированным или смешанным методом.
Итог: нестандартные задачи –они потому и нестандартные, что всеми выше указанными способами всех задач не решишь. А потому 2*2 не только 4, а ещё и без 5 3*3.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Способы решения нестандартных математических заданий как средство достижения планируемых результатов Мастер-класс подготовила Паршакова Тамара Алексеевна, учитель начальных классов 1-ой категории, МНОШ №2, г.Красновишерск
Предметные знания и умения, приобретённые при изучении математики в начальной школе, первоначальное овладение математическим языком являются опорой для изучения смежных дисциплин, фундаментом обучения в старших классах общеобразовательных учреждений .
Не мыслям надобно учить, а учить мыслить. Э. Кант.
задачи математического образования сформировать набор необходимых для дальнейшего обучения предметных и общеучебных умений на основе решения как предметных, так и интегрированных жизненных задач ; обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности , для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе; сформировать устойчивый интерес к математике на основе дифференцированного подхода к учащимся; выявить и развить математические и творческие способности на основе заданий, носящих нестандартный, занимательный характер.
Арифметический способ 1-ый способ Если за исходное рассмотреть отношение между количеством деревьев (8 яблонь, 4сливы), то ответ на вопрос задачи может быть получен путем выполнения следующих действий. 1)8 : 4 = 2 (раз) — яблонь больше, чем слив; 2)2*3 = 6 (раз) — воды вылили больше под яблони; 3)1 + 6 = 7 (частей) — в общем объеме воды; 4)140 : 7 = 20 (вед.) — израсходовали на полив всех слив; 5)140 — 20 = 120 (вед.) — израсходовали на полив всех яблонь. 2-ой способ Если рассуждать, начиная с отношения, зафиксированного в тексте задачи последним (на полив яблони уходит воды в 3 раза больше), то цепочка будет другой 1)8*3 = 24 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь; 2) 24 + 4 = 28 (сл.) — можно полить вместо 8 яблонь и 4слив 3)140 : 28 = 5 (вед.) — нужно для полива одной сливы; 4)5*4 =20 (вед.) — вылили под сливы; 5) 140 — 20 = 120 (вед.) — вылили под яблони. Для полива 8 яблонь и 4 слив мальчики принесли 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони и сколько под сливы, если на полив одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на полив одной сливы? Всего 6 арифметических способов решения задачи
Алгебраический способ х — вёдер под 1 сливу; 3х – вёдер под 1 яблоню; 4х- вёдер под 4 сливы; 3х*8=24х- вёдер под 8 яблонь. Всего: 4х+24х=140 вёдер Решив уравнение, находим х=5, значит, на полив слив израсходовали 20 вёдер, а на полив яблонь — 120 вёдер.
Графический способ Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Первый проехал 1/3пути, второй —5/8 пути. Произошла ли встреча велосипедистов? Находим 1 /3 пути (делим отрезок на 3 равные части и берём 1 часть) Находим 5 /8 пути (делим на 8 частей и показываем 5 таких частей) Как показывает чертёж, встреча не произошла. 1 /3=8/24 5/8=15/24
Практический способ В гараже 20 легковых и грузовых автомобилей, причем на каждую легковую машину приходится 4 грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в гараже? Изобразим, что на 1 легковую машину приходится 4 грузовые: Л-Г-Г-Г-Г-5 машин, дальше нетрудно сообразить, что 20 машин разделить на 5, получится 4 раза: Л-Г-Г-Г-Г-5 машин Л-Г-Г-Г-Г-5 машин Л-Г-Г-Г-Г-5 машин Подсчитаем количество легковых машин (4) и грузовых: 4*4=16(грузовых)
Схематический способ Задача. Собрался Иван-царевич на бой с трехглавым и треххвостым Змеем Горынычем. «Вот тебе меч-кладенец , — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом он может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста, но запомни: срубишь хвост — два вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь голову — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет». За какое наименьшее число ударов Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты? Рубка Хвоста приводит к росту двух новых: Х- 2Х. Аналогично, 2Х- Г, Г- Г, 2Г- ничего (0 ). Следовательно, число голов должно быть чётным. Если число голов будет 4, то останется 1 хвост. Значит, число голов должно быть 6. Поскольку Змей имеет 3 головы, то следует рубить ему хвосты так, чтобы это привело к получению еще трех голов. В связи с этим действия Ивана-царевича можно изобразить: Таким образом, Змей Горыныч побежден девятью ударами .
Табличный способ Беседуют трое друзей: Белов, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей? Фамилия, цвет волос рыжий чёрный блондин Белов Чернов Рыжов 1.Ставим в соответствии с тем, что ни у кого цвет волос не соответствует фамилии. 2. Предложение «Брюнет сказал Белову» означает, что Белов — не брюнет, поэтому поставим еще один 3.Значит, Белов- рыжий, ,Чернов- блондин, , а Рыжов- чёрный
Перебор вариантов (метод полной или частичной индукции) Можно ли найти два натуральных числа, из которых одно больше другого на 4, а их произведение равно 48? Ответ: нельзя. числа произведение 0 и 4 0 1 и 5 5 2 и 6 12 3 и 7 21 4 и 8 32 5 и 9 45 6 и 10 60
Предположение ответа (метод ложного ответа) Отец обещал сыну за каждую правильно решенную задачу опускать в копилку 10 монет, а за каждую неправильно решенную задачу сын должен возвращать отцу по 5 монет. После того как было решено 20 задач, у сына в копилке оказалось 80 монет. Сколько задач сын решил неправильно и сколько без ошибок? Пусть 10 задач решено верно. В копилке окажется при этом: 10*10 — 5*10= 50( мон .).Получили, что 50 Мне нравится
Источник статьи: http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2013/11/15/master-klass-sposoby-resheniya-nestandartnykh
