Построение магического квадрата методом террас
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Уважаемые читатели! Эта страница является Приложением к главе “Магические квадраты” из книги “Компьютер решает головоломки”. Она адресована тем, кого заинтересовала тема “Магические квадраты”. Изложенные методы построения магических квадратов я нашла в литературе (в основном это журналы “Наука и жизнь”). Но! не нашла методов построения магических квадратов чётного (или: чётно-нечётного) порядка, не являющихся чётно-чётными (то есть порядок таких квадратов делится на число 2, но не делится на число 4), например, шестого, десятого и т. д. Этот метод я изобрела сама. Поэтому я пока не привожу его здесь. Делаю заявку на изобретение нового метода, которого нет в литературе! Я не могу сказать со 100% уверенностью, что в литературе вообще нет методов построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. Надо поискать получше. Но даже если они и есть, то, вполне возможно, что они отличаются от метода, придуманного мной. Приглашаю всех заинтересовавшихся рассмотреть тему подробно и сообщить мне, нашлись ли такие методы. Или мой метод пока единственный?
А теперь перехожу к методам построения магических квадратов нечётного и чётно-чётного порядка.
Магические квадраты нечётного порядка
Если магический квадрат третьего порядка нетрудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Вы убедились в этом, если решали задачу о магическом квадрате четвёртого порядка, приведённую в разделе 1. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.
С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n 2 ), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас. Предлагаю вам построить методом террас магические квадраты седьмого и/или девятого порядка.
Источник статьи: http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm
Основные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток
Статья просмотрена: 4435 раз
Библиографическое описание:
Бурханова, Ю. Н. Основные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток / Ю. Н. Бурханова, Е. А. Касаткина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2010. — № 4 (15). — С. 29-35. — URL: https://moluch.ru/archive/15/1386/ (дата обращения: 04.03.2021).
Предлагаемая вниманию читателей статья посвящена вопросу, стоящему довольно далеко от центральной линии развития математической науки.
Священные, волшебные, загадочные, таинственные совершенные… Как только их не называли. Они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Привлекающие своей красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел.
Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период времени, когда всем руководили суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов стала не нужна. Однако учение о магических квадратах до сих пор может представлять интерес для любителей математики, в первую очередь для учащихся, в силу простоты и наглядности задач, не говоря уже о том, что это учение представляет собой благодарное поле приложения ряда более теоретико-числовых концепций.
Предлагаю вниманию читателя рассмотреть наиболее известные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток. При этом мы ограничиваемся лишь «классическими» магическими квадратами, т.е. квадратами, состоящими из последовательных натуральных чисел от 1 до 
.
Числовым квадратом порядка n, где n – некоторое положительное целое число, мы будем называть квадрат, разбитый на n 2 клеток, в которых размещены ( в некотором порядке) целые числа от 1 до . Числовой квадрат мы будем называть магическим, если суммы, получаемые от сложения чисел каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей, одинаковы. Так как квадрат порядка n и сумма 
чисел каждого ряда одинакова, то сумма всех чисел, размещенных в магическом квадрате, равна 
. С другой стороны, она равна[3]
. (1)
Условия равенства суммы элементов отдельных строк, столбцов и диагоналей числу мы будем называть условиями магичности этих строк, столбцов и диагоналей.[3]
Пример магического квадрата порядка 4 приведен на рис.1. (это так называемый квадрат Дюрера, изображенный на его гравюре «Меланхолия»). Для него в согласии с формулой (1), 
.
Рис.1. Квадрат Дюрера
Несмотря на то, что в свое время (особенно в XVI- XVIII веках) магические квадраты были предметом пристального изучения известных математиков, все же она не может считаться завершенной. Достаточно сказать, что до сих пор не известен никакой общий метод построения всех магических квадратов данного порядка n. Можно лишь утверждать, что это число делится на 8, так как из любого магического квадрата поворотами на 90 
вокруг центра и отражениями в сторонах получаются еще 7 новых магических квадратов[4].
Клетки магического квадрата порядка n мы будем обозначать парами целых чисел (x,y) – их координатами, где х – номер вертикального ряда, у – номер горизонтального ряда, на их пересечении находится данная клетка[2]. При этом вертикальные мы нумеруем слева направо, а горизонтальные – снизу вверх. В качестве номеров мы будем использовать числа
Сдвигая основной квадрат параллельно самому себе на векторы с целочисленными координатами, делящимися на n, мы получим систему налегающих друг на друга квадратов порядка n, покрывающую всю плоскость. Две клетки, принадлежащим двум таким квадратам и занимающие относительно них одинаковое положение, мы будем называть эквивалентными. В дальнейшем эквивалентные клетки будут играть одинаковую роль и будут рассматриваться как одинаковые. Каждое целое число z=1, 2, . . ., n 2 мы можем записать в виде
где r и s – некоторые числа системы (2), однозначно определенные числом z и, обратно определяющее это число. Мы будем числа r и z называть координатами числа z[2].
Например, при n=3 координаты чисел
z=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
имеют соответственно вид
При задании некоторого магического квадрата порядка n каждой паре r,s сопоставляется пара чисел х, у – координаты клетки квадрата, в которую вписано число с координатами r, s. Другими словами, числа х и у являются функциями чисел r и s. Обозначая эти функции буквами f и g, мы получим, следовательно, что х = f(r, s) и у = g(r, s).
В дальнейшем любую пару f(r, s) и g(r, s) мы будем называть методом построения магических квадратов[2].
Описанное сведение задачи построения магического квадрата к задаче построения пары функций f(r, s) и g(r, s) позволяет, в частности, классифицировать способы построения магических квадратов в зависимости от характера этих функций.
Индийский метод составления магических квадратов (иногда называемые также сиамским) является, по-видимому, самым древним алгоритмом построения магических квадратов произвольного нечетного порядка n=2m+1. этот алгоритм описывают следующими правилами[2]:
1 . Числа от 1 до n2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата.
2 . Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.
3 . Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, т.е. в клетку с координатами (m, 2m).
4 . Если число z вписано в клетку с координатами (х, у), то следующее число z+1 вписывается в клетку с координатами (х+1, у+1), т.е. в клетку, смежную с клеткой (х, у), в направлении восходящей диагонали, при условии, что эта последняя клетка еще свободна от чисел.
5 . Если клетка с координатами (х+1, у+1) уже занята некоторым числом, то число z+1 вписывается в клетку с координатами (х, у-1), т.е. в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (х, у). (оказывается это всегда возможно, т.е. клетка (х, у-1) обязательно свободна от чисел).
На рис.2 изображен магический квадрат третьего порядка, построенный индийским методом. Для ясности в этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата. Не описывая подробно это построение, мы укажем лишь, что число 1 вписано на основании правила 1 и 3 , число 2 – на основании правил 4 и 2 , число 3 – на основании правил 4 и 2 , число 4 – на основании правил 5 и 2 , число 5 – на основании правила 4 , число 6 – на основании правила 4 , число 7 – на основании правил 5 и 2 , число 8 – на основании правил 4 и 2 и, наконец, число 9 – на основании правил 4 и 2 .
Источник статьи: http://moluch.ru/archive/15/1386/
Мастер-класс (разработка) по математике «Построение магических квадратов»
Подойдёт и взрослым и детям
Учитель начальных классов
Мастер – класс по математике по теме
«Построение магических квадратов»
—Ребята, проверили свои рабочие места. Что вы заметили необычного? (много гостей, парты расставлены дугообразно…). Чтобы не отвлекаться, посмотрите на гостей и подарите им свои улыбки. А сейчас тихо занимаем свои места.
Сообщение темы и целей занятия
Уважаемые коллеги, ребята, я приглашаю вас в удивительный мир магических квадратов, одним из основоположников которого является известный швейцарский ученый Леонард Эйлер. По его мнению, их составление есть превосходная умственная гимнастика.
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;
выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.
работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.
основные методы работы – объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.
2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач.
2.1. Подготовительная работа.
— Ребята, а что вы видите на сладе?
-Где вы видели такие квадраты? (в книжке, у Наташи)
— Кто решал такие удивительные задачи?
На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно для этого нужно иметь время и терпение. При решении таких задач используем метод подбора.
— Итак, посмотрите внимательно на доску.
-Мы должны подобрать цифры т.о., чтобы сумма в строках, столбцах, диагоналях была равна 15.
2.2. Введение нового понятия.
У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 ( проверка). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3.
В математике под магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами , что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть «магической постоянной».
— Давайте вспомним правило о натуральных числах!
— А в этом нам поможет наш справочник.
Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим?
7 сл. – Ребята, сложно было решить магический квадрат?
Предположение …. – Что должны составить для дальнейшей работы?
3.Изучение нового материала
Рассмотрим один способ построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ – метод террас.
— Ребята, сможете объяснить слово терраса?
— Давайте обратимся к словарю.
( у нас в школе тоже есть терраса, только без крыши)
-А в магическом квадрате, как вы думаете, где терраса?
3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас.
Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.
Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3.
С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).
Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:
-Вот для чего нужен нам метод террас!
Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем:
Магический квадрат 3*3. Сумма = 15.
3.2. Практическая работа.
У вас на столах лежит таб. №3. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.
Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.
1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.
Источник статьи: http://infourok.ru/masterklass-razrabotka-po-matematike-postroenie-magicheskih-kvadratov-528246.html