Математический цветник розы гвидо гранди проект

Математический цветник розы гвидо гранди проект

Введение

«Математик, так же, как и художник или поэт, создаёт узоры» Г.Харди

Математика-это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные ,инженерные задачи в различных отраслях жизни. Меня заинтересовали кривые ,заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других мое внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок- полярная роза или роза Гвидо Гранди, и я в своей работе хочу исследовать многообразие форм «роз» Гвидо Гранди.

Цель работы:

-Исследовать, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости от различных значений параметров

-Установить связь между количеством липестков , их формул и симметричности получившегося рисунка.

-Получить большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди.

-Изучить использование полярных координат в жизни, искусстве, науке, технике и применить на практике .

2.1 Историческая справка о розах Гвидо Гранди

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их правильное очертание-это не каприз природы- они предопределены математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз». Гранди известен своей работой Flores geometrici (1728), изучавшей розы — кривые, которые имеют форму лепестков цветка. Он назвал розы кривой rhodonea и назвал кривую Clelia в честь графини Клелии Борромео.

Уравнение розы Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид

Задавая параметр отношением натуральных чисел можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.

Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр, математик-натуралист XIX в. Б. Хабенихт также решил заняться математическим «растениеводством».И он путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты. Полагая, что абрис (очертание) листа или цветочного лепестка в полярных координатах описывается выражением r=f(ϕ), где f(ϕ) для каждого отдельного растения представляет определённую комбинацию тригонометрических функций,Хабенихт в своих работах приводит ряд полученных им уравнений, которые с хорошим приближением аналитически выражают очертания различных листьев и плодов. Он также рассматривает контур листа как замкнутую кривую, которая в полярной системе координат имеет уравнение.Если предположить, что кривая, изображающая контур листа, симметрична относительно полярной оси, а функция является конечной суммой, то эта сумма должна состоять из косинусов или синусов. Исходя из этого общего уравнения, Хабенихт исследует его частные случаи. Постепенно усложняя уравнение он получает большое количество уравнений контуров листьев: плюща, крапивы, листьев кислицы и др.

2.2. Разнообразие роз Гвидо Гранди

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)

Возьмём для начала любое n и k-чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков 2k, и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности n. Кривые симметричны относительно оси ординат, оси абсцисс и начала координат.

Если мы возьмём любое n и k-нечётное число, то получим цветок изkлепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k. Вниз лепесток будет направлен при k=3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k=5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin((c/b)*a)

Мы замечаем, что количество лепестков стало зависеть от c и b.Если c=1, а b=2 получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды, «наползшие» друг на друга. Если b=3, то мы получим кардиоиду с петлей «внутри себя». Если b>3 мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида(1 или 2). Если c>b, c-любое нечётное число, b-любое нечётное число и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» с c-лепестков, у которого они находят друг на друга. При c=5 и всех последующих нечётных чисел через одни, один лепесток «розы» будет направлении вниз по оси ординат. По аналогии при c=7 и при всех последующих нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси ординат. Кривая симметрична относительно оси ординат.

Если c>b, c-любое чётное число, b-любое нёчетное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством 2c. Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Если мы зададим значения c>b, c-любое нечётное число, b-любое чётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2c. Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)+m

Если k-чётное число, и мы будем прибавлять |m|>5, то наша «роза» из 2k лепестков будет переходить в кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим

Если k-нечётное число, и если будем прибавлять числа |m|>5, то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим

2.3. Полярная система координат.

Положение любой точки A в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.

Полярная система координат

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ϕ соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. И так:

положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки»

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.

Полярный радиус ρ – длина отрезка ОA

Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком ОA

Переход от полярной системы координат к декартовой

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:

x1 = ρ cosφ, y1 = ρ sinφ

2.5 Общие свойства роз Гвидо Гранди

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как

то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,

В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть 0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция — периодическая с периодом π, кроме того,

поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k — иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков

2.6.Связь с другими кривыми

Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоиду можно построить и другим способом. Она описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом.

Определяется уравнением в полярных координатах

(a — радиус окружности)

В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя в спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало ее изучению.

Определяется уравнением в полярных координатах

(с – половина расстояния между фокусами лемнискаты)

Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок. Определяется уравнением в полярных координатах

Спираль Архимеда – названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Определяется уравнением в полярных координатах

В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея персональный компьютер.

Построение графиков в полярной системе координат в Delphi

Создадим проект в среде Delphi для построения графиков полярных кривых, заданных параметрическими уравнениями: кардиоиды, логарифмической спирали, декартова листа, фигуры Лиссажу, k-лепестковой розы, эпициклоиды

Источник статьи: http://school-science.ru/5/7/34989

Исследовательский проект «Розы Гвидо Гранди»

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Дюртюлинский многопрофильный колледж

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Тема :«Розы Гвидо Гранди»

Выполнили: студенты группы 1ЭД-17.1

Валиева Л.Р., Камалетдинова А.А.

Руководитель проекта: Гирфанова Л.Ф.

преподаватель математики ГБПОУ ДМК

СОДЕРЖАНИЕ

1.Гвидо Гранди. 4

2.Историческая справка о розах Гвидо Гранди………………………. 5

3.Разнообразие роз Гвидо Гранди……………………………………….6

4 Полярная система координат…………………………. 9

5.Общие свойства роз Гвидо Гранди……………………………………11

6.Применение полярных координат в жизни…………………………. 13

9. Список использованной литературы………………………………….16

ВВЕДЕНИЕ

«Математик, также, как и художник

или поэт, создаёт узоры»

Математика-это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии являются основой математического моделирования и дизайна. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные ,инженерные задачи в различных отраслях жизни. Нас заинтересовали кривые ,заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других наше внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок — полярная роза или роза Гвидо Гранди.

Что такое розы Гвидо Гранди? До тех пор, пока мы не начали писать исследовательскую работу, мы не знала, что это такое. При изучении данной темы наш интерес постоянно возрастал. Когда изучили темы, связанные с розами Гвидо Гранди, то поняли, что о них нужно рассказать другим.

Появление математического дизайна смело можно связать с именем итальянского геометра Гвидо Гранди(1671-1742). В математике Гранди известен своей работой Floresgeometrici (1728), изучавшей розы-кривые, которые имеют форму цветочного лепестка.

Данная работа позволяет по-новому, с точки зрения математики, посмотреть на красоту окружающего мира, понять, что математика – прикладная наука, позволяющая описывать эту красоту.

ГВИДО ГРАНДИ

ГРАНДИ Луиджи Гвидо (1671-1742) – итальянский монах, священник, философ, математик и инженер. Гранди родился 1 октября 1671 в Кремоне, Италия и окре щен Луиджи. П олучил образование в иезуитском колледже. В 1687 году он поступил в послушником в приют монахов в Ферраре и принял имя Гвидо. В 1693 году он был отправлен в монастырь Святого Григория Великого, чтобы завершить свои исследования в философии и теологии в рамках подготовки к священству. Был назначен преподавателем философии и теологии в монастыре во Флоренции в 1694 году. Похоже, что именно в этот период его жизни он прояв ил интерес к математике. Он делал свои исследования в частном порядке и был назначен профессором философии в монастыре Св. Григория в 1700году .
К 1707 году Гранди за работал такую ​​репутацию в области математики, что был назначен математик ом великого герцога Тосканского, Козимо III Медичи. Е го трактат о квадратуре (1703) открыл Италии исчисления Лейбница . Он был также автором нескольких популярных учебников.
Он также делал успе хи в теоретическ ой и практич еской механик е . Его исследования в области гидравлики вызвал и значительный интерес со стороны правительств стран Центральной Италии.
В 1701 Гранди опубликовал результаты исследования конических локсодроми й. Он выступил в качестве соавтора в издании первого флорентийского издани я трудов Галилея . В 1703 году в его «Записк е о трактат е Галилея о естественн ом движени и » он дал первое определение кривой versiera , ( от лат . vertere — включить). Эта кривая была позже изуч ена одной из немногих женщин-ученых Мари ей Аньези .
В 1709 году он посетил Англию, где был избран членом Королевского общества. Пизанск ий университет присвоил ему звание профессор а математики в 1714 году. Именно там он умер 4 июля 1742 года.

Историческая справка о розах Гвидо Гранди

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди создал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их правильное очертание-это не каприз природы- они предопределены математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз» . Гранди извест ен своей работ ой Flores geometrici (1728), изуча вшей роз ы — крив ые , котор ые име ю т форму лепестков цветка. Он назвал розы кривой rhodonea и назвал крив ую Clelia в честь графин и Клели и Борромео .

Уравнение розы Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид

.

Задавая параметр отношением натуральных чисел можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.

Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр, математик-натуралист XIX в. Б. Хабенихт также решил заняться математическим«растениеводством». И он путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты. Полагая, что абрис (очертание) листа или цветочного лепестка в полярных координатах описывается выражением r=f( ϕ ), где f( ϕ ) для каждого отдельного растения представляет определённую комбинацию тригонометрических функций, Хабенихт в своих работах приводит ряд полученных им уравнений, которые с хорошим приближением аналитически выражают очертания различных листьев и плодов. Он также рассматривает контур листа как замкнутую кривую, которая в полярной системе координат имеет уравнение.
Если предположить, что кривая, изображающая контур листа, симметрична относительно полярной оси, а функция является конечной суммой, то эта сумма должна состоять из косинусов или синусов. Исходя из этого общего уравнения, Хабенихт исследует его частные случаи. Постепенно усложняя уравнение он получает большое количество уравнений контуров листьев: плюща, крапивы, листьев кислиц.

РАЗНООБРАЗИЕ РОЗ ГВИДО ГРАНДИ

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a.)

Возьмём для начала любое n и k -чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков 2 k , и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности n . Кривые симметричны относительно оси ординат, оси абсцисс и начала координат.

Если мы возьмём любое n и k -нечётное число, то получим цветок из k лепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k . Вниз лепесток будет направлен при k =3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k =5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin((c/b)*a).

Мы замечаем, что количество лепестков стало зависеть от c и b . Если c=1, а b =2 получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды, «наползшие» друг на друга. Если b=3, то мы получим кардиоиду с петлей «внутри себя». Если b>3 мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида(1 или 2). Если c > b , c -любое нечётное число, b -любое нечётное число и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» из c -лепестков, у которого они находят друг на друга. При c =5 и при всех последующих нечётных числах через одни один лепесток «розы» будет направлении вниз по оси ординат. По аналогии, при c =7 и при всех последующих нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси ординат. Кривая симметрична относительно оси ординат.

Если c > b , c -любое чётное число, b -любое нёчетное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством 2 c . Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Если мы зададим значения c > b , c -любое нечётное число, b -любое чётное, и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2 c . Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)+m.

Если k -чётное число, и мы будем прибавлять | m |>5, то наша «роза» из 2k лепестков будет переходить в кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим.

Если k -нечётное число, и если будем прибавлять числа | m |>5, то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим.

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов. В более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается ρ , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. Итак, положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки».

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:

x1 = ρ cosφ, y1 = ρ sinφ.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РОЗ ГВИДО ГРАНДИ

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как| sin(k | ≤1,то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3 ≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ , .

В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно

построить график для углов в промежутке 0 ,

а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак,

пусть 0≤ .

Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция — периодическая с периодом π, кроме того,

sin(2( ,поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [ ; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Применение полярных координат в жизни

Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки.

Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев Р –цена сделки Ф – время её совершения Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов).( Приложение №4) В военном деле Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).

Пчелы используют полярные координаты для обмена информацией об источниках пищи. Найдя новый источник пищи, пчела-разведчица возвращается в улей и исполняет танец, на языке которого рассказывает, где находится клумба. Причём всё это похоже на двухлепестковую розу. Таким образом, пчела-разведчица сообщает другим пчелам полярные координаты нового источника пищи.

Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.

5.В системах идентификации человека

Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.

6.В различных областях науки и техники

Измерительный проектор предназначен для измерения различных параметров в прямоугольной и полярной системах координат Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ.

ПРОЕКТ ДИЗАЙНА ТЕРРИТОРИИ

Мы решили применить полученные при исследовании знания в ландшафтном дизайне и спроектировали клумбу на территории колледжа.

Клумбу мы представили в виде соцветия роз Гранди, выраженными уравнением кривой r=n*sin(k*a) с k = 2, 3. Построили данные кривые в редакторе MicrosoftEx с el , задав соответствующие координаты.

Используя следующие «розы», получили эскиз клумбы.

В каждом из лепестков можно высадить цветы различных видов, высоты и раскраски, но это зависит от количества растений и фантазии сажающего.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе приведена классификация кривых Гвидо Гранди и описаны их основные свойства. Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат r = n * sin ( k * a )+ m в зависимости различных значений параметров n , k , m , мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричностью получившегося рисунка. Когда мы получали «розы» из четного количества лепестков, рисунок был симметричен относительно начала координат и осей координат. Если мы получали цветы из нечётного количества лепестков, то рисунок был симметричен только оси ординат.

В ходе исследовательской работы получено большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. С помощью эскизов семейства кривых мы создали проект клумбы, которую хотим выложить в цветнике на приколледжном участке.

В перспективе мы хотим реализовать наш проект на территории города и района. Но это уже другая часть нашего исследовательского проекта…

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Савелоа А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение

2.Гильберд Д. Наглядная геометрия.

3.Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия.

4.Норден А.П. Дифференциальная геометрия.

5. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии.

Источник статьи: http://mega-talant.com/biblioteka/issledovatelskiy-proekt-rozy-gvido-grandi-84250.html