Магический квадрат метод террас
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Уважаемые читатели! Эта страница является Приложением к главе “Магические квадраты” из книги “Компьютер решает головоломки”. Она адресована тем, кого заинтересовала тема “Магические квадраты”. Изложенные методы построения магических квадратов я нашла в литературе (в основном это журналы “Наука и жизнь”). Но! не нашла методов построения магических квадратов чётного (или: чётно-нечётного) порядка, не являющихся чётно-чётными (то есть порядок таких квадратов делится на число 2, но не делится на число 4), например, шестого, десятого и т. д. Этот метод я изобрела сама. Поэтому я пока не привожу его здесь. Делаю заявку на изобретение нового метода, которого нет в литературе! Я не могу сказать со 100% уверенностью, что в литературе вообще нет методов построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. Надо поискать получше. Но даже если они и есть, то, вполне возможно, что они отличаются от метода, придуманного мной. Приглашаю всех заинтересовавшихся рассмотреть тему подробно и сообщить мне, нашлись ли такие методы. Или мой метод пока единственный?
А теперь перехожу к методам построения магических квадратов нечётного и чётно-чётного порядка.
Магические квадраты нечётного порядка
Если магический квадрат третьего порядка нетрудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Вы убедились в этом, если решали задачу о магическом квадрате четвёртого порядка, приведённую в разделе 1. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.
С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n 2 ), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас. Предлагаю вам построить методом террас магические квадраты седьмого и/или девятого порядка.
Источник статьи: http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm
Мастер-класс (разработка) по математике «Построение магических квадратов»
Подойдёт и взрослым и детям
Учитель начальных классов
Мастер – класс по математике по теме
«Построение магических квадратов»
—Ребята, проверили свои рабочие места. Что вы заметили необычного? (много гостей, парты расставлены дугообразно…). Чтобы не отвлекаться, посмотрите на гостей и подарите им свои улыбки. А сейчас тихо занимаем свои места.
Сообщение темы и целей занятия
Уважаемые коллеги, ребята, я приглашаю вас в удивительный мир магических квадратов, одним из основоположников которого является известный швейцарский ученый Леонард Эйлер. По его мнению, их составление есть превосходная умственная гимнастика.
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;
выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.
работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.
основные методы работы – объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.
2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач.
2.1. Подготовительная работа.
— Ребята, а что вы видите на сладе?
-Где вы видели такие квадраты? (в книжке, у Наташи)
— Кто решал такие удивительные задачи?
На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно для этого нужно иметь время и терпение. При решении таких задач используем метод подбора.
— Итак, посмотрите внимательно на доску.
-Мы должны подобрать цифры т.о., чтобы сумма в строках, столбцах, диагоналях была равна 15.
2.2. Введение нового понятия.
У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 ( проверка). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3.
В математике под магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами , что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть «магической постоянной».
— Давайте вспомним правило о натуральных числах!
— А в этом нам поможет наш справочник.
Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим?
7 сл. – Ребята, сложно было решить магический квадрат?
Предположение …. – Что должны составить для дальнейшей работы?
3.Изучение нового материала
Рассмотрим один способ построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ – метод террас.
— Ребята, сможете объяснить слово терраса?
— Давайте обратимся к словарю.
( у нас в школе тоже есть терраса, только без крыши)
-А в магическом квадрате, как вы думаете, где терраса?
3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас.
Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.
Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3.
С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).
Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:
-Вот для чего нужен нам метод террас!
Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем:
Магический квадрат 3*3. Сумма = 15.
3.2. Практическая работа.
У вас на столах лежит таб. №3. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.
Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.
1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.
Источник статьи: http://infourok.ru/masterklass-razrabotka-po-matematike-postroenie-magicheskih-kvadratov-528246.html
Тайны магических квадратов
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные. Магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел. Они всегда привлекали внимание не столько своими математическими, сколько скрытыми в них, по мнению многих, мистическими свойствами. В работе отдаётся предпочтение математической составляющей этого вопроса.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Исследовательская работа «Тайны магических квадратов» | 257.42 КБ |
| Презентация «Тайны магических квадратов» | 667.47 КБ |
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа №123
муниципального района Волжский Самарской области
ЕЖЕГОДНАЯ ОТКРЫТАЯ ШКОЛЬНАЯ
«БУДУЩИЕ УЧЕНЫЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ»
Секция: «Математика, физика и информатика»
Тема: «Тайны магических квадратов»
Автор: Сударикова Ольга,
6 «А» класс ГБОУ СОШ №2
с углубленным изучением отдельных предметов п.г.т. Усть-Кинельский
Научный руководитель: Фролова Елена Юрьевна,
почётный работник общего образования РФ, учитель математики ГБОУ СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов п.г.т. Усть-Кинельский
Самарская область м.р. Волжский
Понятие магического квадрата
Из истории магических квадратов
Разновидности магических квадратов
Способы построения магических квадратов
Метод квадратных рамок
Метод построения магических квадратов чётно – нечётного порядка
Метод построения латинских квадратов
Решение задач с магическими квадратами
Построение собственных магических квадратов
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии».
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные. Как только их не называли. « Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими магическими», – писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн. Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел [7, с.101]. Они всегда привлекали внимание не столько своими математическими, сколько скрытыми в них, по мнению многих, мистическими свойствами. В далекие времена их чертили на дорогих пластинах из золота или мрамора. Обладатели знаний о магическом квадрате имели невероятную власть и возможность достижения любой цели.
Но откажемся от мистики и займёмся изучением магических квадратов, отдавая предпочтение математической составляющей этого вопроса.
Магический квадрат – это головоломка, а любая головоломка развивает внимание, улучшает логику, укрепляет память. Поэтому на математических олимпиадах, различных конкурсах, в занимательной литературе и познавательных книгах очень часто встречаются задания, в которых необходимо заполнить клетки квадрата размером n×n натуральными числами так, чтобы их сумма по строкам, столбцам и диагоналям была постоянной. Конечно, имея время и терпение, можно решить эту задачу методом перебора вариантов, но возникают вопросы, как это сделать рациональнее и можно ли установить какую-либо закономерность, позволяющую решать задания такого типа?
Ответ становится очевидным после знакомства с основными правилами заполнения магических квадратов.
Цель исследования : научиться составлять собственные магические квадраты различными способами.
В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи :
- познакомиться с понятием магического квадрата и его разновидностями;
- изучить историю магических квадратов;
- выявить способы построения магических квадратов;
- применить полученные знания для построения собственных магических квадратов.
Характер исследования обусловил необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов: теоретический анализ литературы по данной проблеме, сбор информации, анкетирование, наблюдение, сравнительный анализ, синтез.
Теоретическая и практическая значимость исследования заключаются в систематизации методов построения магических квадратов с целью получения необходимых знаний, требуемых для создания собственных магических квадратов чётного и нечётного порядков.
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.1. Понятие магического квадрата
Магический (волшебный) квадрат – это квадратная таблица n×n , заполненная n 2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова [13, с.196].
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим [ 12, с.197 ] .
Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n 2 . Такие квадраты существуют для всех порядков n > 1, за исключением n = 2. Случай п = 1 считается тривиальным – квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай имеет порядок 3.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой [4, с.9].
Практические вычисления позволили получить первые значения магических констант, приведённых в следующей таблице:
1.2. Из истории магических квадратов
Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Жрецы, астрологи, маги и чародеи уделяли большое внимание магическому квадрату, испытывая к нему безграничное доверие, как к высочайшему дару богов, относились к нему с непередаваемым уважением и почтением [14 , с.2 ] .
Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие от многих несчастий тех, кто их носит. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами и использовали при заклинаниях.
Наиболее ранние сведения о магических квадратах содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV – V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу [8 , с.1].
Согласно легенде таинственные иероглифы впервые были обнаружены на черепаховом панцире (рис. 1.1).
Из Китая увлечение магическими квадратами перешло к арабам. В одном из арабских манускриптов конца VIII века упоминается его автор – философ Апполониз Тиана, живший в начале нашей эры, который на самом деле лишь заново открыл магический квадрат , известный за много веков до него [15 , с.1] .
Затем м агические квадраты распространились в Индию. Квадрат, обнаруженный в XI веке в городе Кхаджурахо – уникальный магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Квадрат из Кхаджурахо
Древние греки были знакомы с простейшим магическим квадратом третьего порядка. В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако Ян Хуэй всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, в котором только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37 (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Квадрат Ян Хуэя
В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни.
1.3. Разновидности магических квадратов
Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям.
К таким квадратам можно отнести симметричные магические квадраты.
Симметричным ( ассоциативным) называют магический квадрат, у которого все пары чисел, расположенные симметрично относительно центра, дают одинаковые суммы, равные п 2 + 1 [4 , с.67 ] .
В Европе впервые изображение симметричного магического квадрата встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Его магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. Сумма чисел этого квадрата, на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма встречается также во всех угловых квадратах порядка 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+14+15 и 5+8+12+9). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 – год издания гравюры А. Дюрера (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Квадрат А. Дюрера
Если в квадратную матрицу n×n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат называется нетрадиционным [5 , с.284 ] .
Ниже представлены два таких магических квадрата, разработанные в начале ХХ века. Они заполнены простыми числами, хотя в современной теории чисел единица не считается простым числом. Первый имеет порядок n = 3 (рис. 1.5). Его автор – Генри Э. Дьюдени.
Рис. 1.5. Квадрат Генри Э. Дьюдени
Второй нетрадиционный квадрат размером 4×4 – квадрат Аллана У. Джонсона-мл. (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Квадрат Аллана У. Джонсона-мл.
Есть несколько подобных нетрадиционных магических квадратов (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Нетрадиционный квадрат третьего порядка
Квадрат размером 12×12, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2 (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Нетрадиционный квадрат Дж. Н. Манси
Пандиагональный (дьявольский) магический квадрат – это квадрат, у которого суммы чисел по ломаным диагоналям (диагоналям, которые образуются при сворачивании квадрата в тор в обоих направлениях) совпадают с магической константой (рис. 1.9) .
Рис.1.9. Ломаные диагонали пандиагонального квадрата
Суммы чисел, расположенных на ломаных диагоналях пандиагонального квадрата пятого порядка, равны магической константе – числу 65 (рис. 1.10) .
Рис. 1.10. Пандиагональный магический квадрат 5×5
Легко убедиться, что квадрат останется п андиагональн ым, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия, или поменять местами его верхнюю строку с нижней, или левый столбец с правым.
Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n= 4· m , где m = 1,2,3…, то есть порядок такого квадрата должен делиться на 4.
Пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными [13 , с.281 ] .
Заметим, что суммы чисел, расположенных по углам магического квадрата, в маленьких квадратах 2×2, примыкающих к вершинам, в квадрате 2×2, находящемся в центре, одинаковы, и каждая из них равна 34 (рис. 1.11).
Рис. 1.11. Совершенный квадрат 4×4
Совершенных квадратов нечётного порядка не существует.
1.4. Способы построения магических квадратов
Общий метод построения всех магических квадратов неизвестен до сих пор, хотя широко применяются различные способы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.
Кроме этого важно учитывать, что зеркальное отражение и поворот начального квадрата дают его видоизменения, то есть новый ряд магических квадратов.
1.4.1. Метод Рауз-Болла
Приведём алгоритм, позволяющий построить магический квадрат чётно-чётного порядка.
Возьмём, к примеру, квадрат 8×8.
Схема метода такова: вначале строятся два вспомогательных квадрата, а затем объединяются в один определенным образом.
Первый квадрат последовательно заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n 2 в порядке возрастания. Второй квадрат заполняется в обратном порядке (рис. 1.12).
Вспомогательные квадраты разделяются на блоки 4×4 и в каждом блоке выделяются клетки, находящиеся на диагоналях.
Рис. 1.12. Вспомогательные квадраты
В результирующий квадрат вписываются соответствующие элементы из первого квадрата, не стоящие на диагоналях, а для выделенных диагоналей записываются соответствующие элементы из второго квадрата (рис. 1.13) [6, с.46].
Рис. 1.13. Магический квадрат 8×8, построенный методом Рауз — Болла
1.4.2. Метод террас
Метод террас используется для построения магических квадратов нечётного порядка.
Для заданного нечетного n необходимо начертить квадратную таблицу размером n × n . К этой таблице со всех четырех сторон пристраиваются террасы (пирамидки). В результате получается ступенчатая симметричная фигура [10 , с.113 ].
С левой вершины ступенчатой фигуры ее диагональные ряды заполняются последовательными натуральными числами от 1 до n 2 (рис. 1.14).
Рис. 1.14. С тупенчатая симметричная фигура, построенная методом террас
Затем для получения магического квадрата п -ого порядка числа, находящиеся в террасах, сдвигаются внутрь таблицы размером п × п до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположным сторонам таблицы (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Магический квадрат размером 5×5 , построенный методом террас
В результате такого построения получается магический квадрат порядка п .
Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной [6 , с.26 ].
1.4.3. Метод квадратных рамок
Для построения магических квадратов четно-четного порядка применяется метод квадратных рамок.
На матричное поле с изображённым на нём исходным квадратом наносятся квадратные рамки с диагональю, равной стороне исходного квадрата, с шагом в одну клетку по диагонали или в две клетки по строкам и столбцам. Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до n 2 по порядку. Первая рамка обходится по часовой стрелке, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, вторая – против часовой стрелки, начиная с верхней свободной справа клетки квадрата, и т. д. (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Магический квадрат 8×8 с нанесёнными квадратными рамками
Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата [10 , с.146 ] .
Готовый магический квадрат изображён на рисунке 1.17.
Рис. 1.17. Магический квадрат, построенный методом квадратных рамок
1.4.4. Метод построения магических квадратов чётно – нечётного порядка
Магическим квадратом чётно-нечётного порядка называется квадрат порядка n=4k +2, где k = 1,2,3… Порядок таких квадратов делится на 2 (чётный), но не делится на 4 [5 , с.316 ] .
Опишем метод построения квадрата чётно-нечётного порядка n . Разобьём его на четыре квадрата m × m , где m = n:2 . В каждом из этих квадратов построим магические квадраты нечётного порядка по достаточно простым правилам. Первый квадрат – традиционный магический квадрат, составленный из чисел от 1 до m 2 . Для его построения можно выбрать любой из известных методов построения магических квадратов нечётного порядка, к примеру, метод террас. Квадрат в правом верхнем углу (и все следующие) – нетрадиционный магический. Он получается путём прибавления к числам в каждой ячейке первого квадрата числа 2 m 2 , то есть он составлен из чисел от
1 + 2 m 2 до 3 m 2 . Квадрат в левом нижнем углу заполняется аналогично числами от 1 + 3 m 2 до 4 m 2 , то есть к числам, стоящим в клетках первого квадрата, прибавляется число 3 m 2 . Четвёртый квадрат составляется из чисел первого квадрата, сложенных с числом m 2 , то есть он заполняется числами от 1 + m 2 до 2 m 2 (рис. 1.18).
Рис. 1.18. Четыре магических квадрата третьего порядка
В каждом из четырёх квадратов выделим числа:
- расположенные на ломаных линиях, прилегающих к левой стороне квадрата и захватывающих по два числа на каждой диагонали в квадрате порядка m ;
- стоящие в ( m – 3 ) столбцах, прилегающих к средней вертикальной линии исходного квадрата по ( m – 3 ): 2 с каждой стороны [4, с.67].
Поменяем местами выделенные числа, стоящие в клетках верхних квадратов на числа, стоящие в соответствующих клетках нижних квадратов (рис. 1.19).
Совершая несложные перестановки чисел по указанной схеме, получаем магический квадрат чётно-нечётного порядка n = 2m.
Рис. 1.19. Магический квадрат шестого порядка
1.4.5. Метод построения латинских квадратов
Латинские квадраты – типичные представители нетрадиционных магических квадратов.
Латинским квадратом называется таблица размеров n × n , заполненная n элементами упорядоченного множества M таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из M встречается в точности один раз [5, с.195].
Существует очень простая схема построения латинских квадратов. Она работает для латинских квадратов любого порядка n .
Пусть а 1 , а 2 ,…, а n – любая перестановка чисел 1, 2, … , n . Сдвинем ее на один шаг а n , а 1 , … , а n-1 . Данная операция (перестановка) повторяется n-1 раз. Такой способ построения латинских квадратов получает название «циклический сдвиг»: каждая следующая строка (или каждый следующий столбец) латинского квадрата получается из предыдущей строки (или столбца) циклическим сдвигом с постоянным шагом k . Для квадрата порядка n шаг k может быть таким, что у k нет общих делителей с n , кроме единицы [4, с.88].
Пусть, например, n = 8. Перестановка чисел в каждой последующей строке квадрата будет осуществляться 7 раз (рис. 1.20).
Рис. 1.20. Латинский квадрат 8-го порядка
Рассмотрим алгоритм, позволяющий составить из латинских квадратов магический квадрат нечётного порядка.
Два вспомогательных латинских квадрата размером п × п заполняют целыми числами от 0 до п — 1 по определённому правилу.
В нижний горизонтальный ряд первой таблицы вписывают целые числа от 0 до п-1 произвольным образом, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка этого ряда была заполнена числом k = ( n-1):2 , где n – количество различных цифр в квадрате. Остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой, в которой первое число переносится в конец строки [7, с.91 ] .
Заполнение второго квадрата начинают с верхнего горизонтального ряда и осуществляют сверху вниз аналогичным образом (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Вспомогательные латинские квадраты
Каждое число первого квадрата умножают на n, а второго – увеличивают на единицу. Магический квадрат порядка n заполняют числами, полученными в результате сложения чисел, стоящих в соответствующих клетках преобразованных вспомогательных латинских квадратов (рис. 1.22).
Рис. 1.22. Магический квадрат 5×5
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1. Решение задач на заполнение магических квадратов
Искусством решать задачи овладеть далеко не просто. Тут требуется большой опыт, интуиция и, как в каждом искусстве, умение свободно применять различные «технические» приёмы [3, с.44]. В этом разделе приведём задачи, притягивающие взгляд изяществом и совершенством стройных числовых комбинаций.
Задача 1 . В свободных клетках квадрата расположите дроби со знаменателем 15 и числителями от 1 до 9 так, чтобы их сумма по горизонтали, вертикали и диагоналям равнялась 1 [2, с.53 ] .
Решение. Попробуем решить задачу, опираясь только на здравый смысл и логические рассуждения. Знаменатель дроби не играет никакой роли, поэтому необходимо построить квадрат из чисел от 1 до 9, стоящих в числителях дробей согласно данному условию.
Найдем сумму натуральных чисел от 1 до 9. Она равна 45. Магическая константа нормального волшебного квадрата порядка 3 равна 15. Определим число, стоящее в центре квадрата. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр, при этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное – четыре раза, поэтому х = (4·15 – 45) : 3 = 5 .
Значит, сумма двух остальных чисел, расположенных в клетках квадрата на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр, равна 15 – 5 = 10. Перечислим такие пары чисел: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6.
Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон – нечетные. Один из возможных вариантов расположения чисел от 1 до 9 в клетках квадрата и дробей со знаменателем 15 и указанными числителями приведён ниже (рис.2.1).
Рис. 2.1. Возможный вариант решения задачи 1
Задача 2 . Расставьте круглые числа от 20 до 100 в девяти клетках квадрата 3 × 3 так, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям была постоянной. Сколько таких размещений можно придумать?
Решение. Центр заполняется однозначно числом 60, так как это единственное число, входящее в четыре тройки, дающие в сумме 180, а центральная клетка входит в один столбец, в одну строку и в две диагонали, то есть участвует в четырех суммах [9, с. 62 ] .
Верхний левый угол можно заполнить любым из чисел 30, 50, 70 и 90, так как каждое из этих чисел входит в три тройки. После этого нижний правый угол заполняется однозначно.
Верхний правый угол заполняется одним из двух оставшихся чисел, входящих в три тройки, после чего весь квадрат заполняется однозначно и видоизменяется с помощью симметрии и поворота (рис. 2. 2).
100
Рис. 2.2. Магические квадраты к задаче 2
Ответ: восемь размещений.
Следует заметить, что эту задачу рациональнее решить, применяя, к примеру, метод террас, так как разность между последующим и предыдущим числом по условию постоянна и равна 10 (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Второй вариант решения задачи 2
Задача 3. Составьте магический квадрат 5 × 5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке [1, с.231 ] .
Решение. В каждой строке и в каждом столбце латинского квадрата должны находиться все числа от 1 до 5. Для его построения используем циклический сдвиг с шагом k = 1, располагая числа от 1 до 5 в первой строке таблицы по порядку. Каждая следующая строка латинского квадрата получается из предыдущей строки сдвигом на одно число (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Возможный вариант решения задачи 3
Задача 4. Даны одночлены х, х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6 , х 7 , х 8 и х 9 . Расположите их в клетках квадрата 3 × 3 так, чтобы их произведение по вертикали, горизонтали и диагоналям равнялось х 15 [9, с.70] .
Решение сводится к построению магического квадрата из чисел от 1 до 9 (см. задачу 1), являющихся показателями степеней с основанием х , при этом нужно помнить, что при умножении показатели степеней складываются.
Магические квадраты и их модификации используются как метод решения заданий, облекая их в занимательную форму с необычными чертежами или увлекательными схемами. Задачи с магическими квадратами служат развитию логического мышления и закрепляют навыки оперирования простыми числами, дробями и степенями.
2.2. Построение собственных магических квадратов
В процессе работы над данной темой было построено три собственных магических квадрата.
Первый квадрат нечётного порядка размером 9×9 с константой 369 построен методом террас (приложение 1).
Для создания второго квадрата чётно-чётного порядка размером 12×12 был использован метод Рауз — Болла (приложение 2). Магическая константа такого квадрата равна 870.
Третий магический квадрат размером 18×18 построен с применением метода для квадратов чётно-нечётного порядка (приложение 3). При заполнении первого из четырёх составляющих его квадратов девятого порядка за основу был взят магический квадрат, построенный методом террас (приложение 1). Число 2925 – магическая константа третьего квадрата.
Все построенные магические квадраты можно видоизменить с помощью поворота и симметрии, тем самым увеличив их число.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Работа над данной темой позволила познакомиться с понятием магического квадрата, его видами и свойствами , способствовала овладению методами построения магических квадратов чётного и нечётного порядков.
Столкнувшись с необходимостью строить магические квадраты, пришлось изучить конструктор таблиц и совершенствовать компьютерные навыки.
В ходе проведённого исследования:
- вычислены первые значения магических констант;
- систематизированы методы построения магических квадратов;
- приведены задачи с магическими квадратами, решение которых оформлено в соответствии с предложенными способами;
- построены собственные магические квадраты 9-ого, 12-ого и 18-ого порядков.
В результате проделанной работы было выявлено, что найдены лишь отдельные методы построения магических квадратов нечётного, чётно-чётного и чётно-нечётного порядков. В связи с этим планируется продолжить научные изыскания в данной области с целью нахождения наиболее простых способов построения магических квадратов с более широким спектром применения.
В период подготовки к конференции было проведено анкетирование среди учащихся 5 – 6 классов (приложение 4). Было выявлено, что из 100 респондентов 44% не знакомы с понятием магического квадрата, 66% не известны основные правила заполнения магических квадратов. 65% респондентов не знают, какой особенностью обладают магические квадраты третьего и четвёртого порядков, предложенные в анкете, и не могут указать эту особенность. Только 16% учащихся смогли расставить цифры от 0 до 8 в клетках квадрата так, чтобы сумма цифр по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям была постоянной. При этом 78% респондентов испытывали трудности, а 75% – выразили желание научиться составлять магические квадраты.
Исходя из результатов обработки анкетных данных, был сделан вывод о том, что учащиеся ГБОУ СОШ №2 мало знакомы с магическими квадратами и способами их построения.
Для расширения знаний о магических квадратах проводилась серия занятий с учениками среднего звена школы №2 (приложение 5). На занятиях учащиеся получили сведения из истории магических квадратов и навыки их построения, научились составлять квадраты 3×3, 4×4 и 5×5 (приложение 6).
Материал, представленный в работе, выходит за рамки школьной программы, являясь прекрасным дополнением к разделу логических задач, поэтому рекомендуется всем, кто увлекается математикой, кто желает знать свыше программного материала и совершенствовать свои знания.
Магический квадрат – это символ числовой гармонии. Он очаровывает строгими комбинациями чисел и таит в себе ещё много загадок [7, с.327 ] . Остаётся неизвестным общий метод построения всех магических квадратов, а также их число.
В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. Современные математики интересуются магическими квадратами из-за их связи с так называемыми «конечными геометриями», в которых используется конечное число точек, а поэтому «прямые» и «плоскости» в таких геометриях также состоят из конечного числа точек. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставляет удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и служит прекрасной «гимнастикой для ума».
Несмотря на то, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики: теории групп, определителей, матриц и т.д.
Источник статьи: http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/08/28/tayny-magicheskih-kvadratov
