Издательство АСТ Москва

1 класс Издательство АСТ Москва

2 Работа. Ребята стоят в ряд. Аня третья слева и шестая справа. Сколько детей стоит в ряду?. На картинке весы находятся в равновесии. Какое количество букв М уравновесит букву А? АААМММ АМММММММ А? Если АААМММ = АМММММММ, то А =. На одной чаше весов кучка шариков, на другой гиря кг. Весы находятся в равновесии. Рядом в два раза большая кучка шариков. Сколько весят все шарики?. Первый дом на этажа выше второго. Над каждым домом надстроили по этажа. Первый дом стал в раза выше второго. Найди высоту каждого дома.. Заполни квадраты сложения Богатырь подбирается к Змею Горынычу. Когда он проходит м, Змей Горыныч дует и отбрасывает его на м. В следующий раз богатырь снова проходит м, Змей Горыныч снова дует и снова отбрасывает его на м. И так далее. За сколько раз богатырь подберётся к Змею Горынычу вплотную, если изначально расстояние между ними было 0 м? Количество : -0 0 мин

3 Работа. Два брата учатся в одной школе: один во втором классе, другой в седьмом. Второклассник утверждает, что в школе больше учеников младших классов, семиклассник что больше школьников. Кто прав? Задания. В первую вазу положили конфеты, во вторую на конфеты больше, чем в первую, в третью на больше, чем во вторую и т.д. Всего было ваз. Сколько было конфет?. Костя умножил 8 на и получил 697, а также он умножил 7 на 7 и получил 98. Рита едва взглянула на ответы и поняла, что Костя ошибся. Как она это определила?. Таня гуляла во дворе ч мин. Пока она гуляла, во двор вышел Петя и гулял там ч 0 мин. Сколько времени они гуляли вместе, если от выхода Тани до ухода Пети прошло ч?. У Ани в раз больше магнитиков, чем у Маши. Если Аня отдаст Маше 8 магнитиков, у них станет магнитиков поровну. Сколько магнитиков у Ани и сколько у Маши? 6. Каждый символ в примерах заменяет какую-то цифру от 0 до 9. Какая цифра соответствует каждому символу? ) K K = ZK ) T T = X ) ZK + ZK = KN 6) FZ : S = M ) KN Z = BNN 7) M M = TM ) T F = BZ 8) TZ : F = P Количество : -0 0 мин

4 Работа. Отца зовут Николай Васильевич Марков, мать Елена Евгеньевна Осипова. Дочь назвали в честь маминого папы. Напиши фамилию, имя и отчество девочки.. Определи значение выражений, используя подчёркнутое равенство. Т0 + Т0 = Р0 Т = Т00 =. одинаковых апельсина тяжелее, чем одинаковых яблок. Что тяжелее, таких апельсинов или 6 таких яблок? >. Митя купил наклеек, а Дима 6 открыток. Заплатили они одинаково. Что дешевле, наклейка или открытка? Если 8 открыток стоят 80 рублей, сколько стоят 8 наклеек?. В числе 978 вычеркни а) цифру; б) цифры так, чтобы оставшееся число было наименьшим. 6. Из цифр. 8, 9, 0,, 9 составь самое маленькое пятизначное число. Количество : -0 0 мин

5 Работа. Дети бежали кросс. Юра прибежал раньше, чем Лёня и Гена. Лёня прибежал раньше Олега, но позже Гены. Кто прибежал первым и кто последним? Задания. Отец в раза старше сына. Вместе им 0 лет. Сколько лет отцу?. В каждой тройке чисел расположение чисел подчинено определённой закономерности. Найди общее правило для всех троек чисел Если бы у меня было ещё столько же денег, сколько есть сейчас, и ещё половина того, что есть сейчас, и ещё рубль, у меня был бы рубль. Сколько у меня сейчас денег?. Коля, Витя, Слава и Серёжа нашли вместе 0 грибов, причём каждый нашёл разное число грибов. Коля нашёл больше всех грибов, а Серёжа меньше всех. Витя нашёл меньше грибов, чем Слава. Сколько грибов нашёл каждый мальчик? 6. Петя и Вася идут вдоль забора. Петя ставит отметину на каждой второй доске, а Вася на каждой третьей доске. Когда появятся доски, на которых оставили отметины оба мальчика? Сколько предыдущих досок останутся без отметин? Количество : -0 0 мин

6 Работа 6. Сумма двух чисел, произведение. Какие это числа?. Настя делала уборку в доме 0 мин. Пока она работала, пришёл Костя и делал уборку мин. Сколько времени они работали вместе, если от начала работы Насти до конца работы Кости прошло 6 мин?. Чтобы сварить компот, на кг груш нужно взять кг сахара и л воды. Сколько понадобится сахара и воды, чтобы сварить компот из 9 кг груш?. Определи значения выражений, используя подчёркнутое равенство. Д0 = Н0 Д = Д00 =. Из числа 7808 вычеркни цифр так, чтобы оставшееся трёхзначное число было наибольшим. 6. Вместо точек вставь числа,, 7, 8. В каждом примере используй разных числа. Некоторые примеры имеют более чем решение. ) = ) ( ) = ) = 6) ( ) = ) = 0 7) ( ) = 8 ) + = 8 8) = Количество : -0 0 мин

7 Работа 6. Кого меньше, котов или кошек?. В каждой тройке чисел расположение чисел подчинено определённой закономерности. Найди общее правило для всех троек чисел Задания. Петя учится на класса старше Ани. года назад он проучился в школе уже в раза дольше, чем Аня. В каком классе сейчас Петя?. Боря половину своих денег потратил на пирожное, а Коля половину своих денег потратил на булочку. На все оставшиеся деньги они купили альбом за рублей. Сколько денег было у каждого мальчика в самом начале, если пирожное на рублей дороже, чем булочка?. Дед в 7 раз старше внука. Вместе им 7 года. Сколько лет деду? 7 6. Заполни квадраты сложения Количество : -0 0 мин

8 Работа 7 8. Каким по счёту будет 9-й этаж двадцатиэтажного дома, если считать сверху?. Подчеркни числа, которые делятся одновременно на, на и на. 0, 0, 80, 90, 0, 90, 0, 60, 90, 0, 0, 0, 70, 60, 70, 80.. В числе 7808 вычеркни цифр так, чтобы оставшееся трёхзначное число было наименьшим.. У Кати наклеек больше, чем у Даши, но меньше, чем у Веры. У Веры и Оксаны наклеек поровну. У Ани наклеек больше, чем у Оксаны, но меньше, чем у Иры. У кого больше всего наклеек?. Вадик умножил 67 на 8 и получил 0, а также умножил 69 на 97 и получил 09. Вика едва взглянула на ответы и поняла, что Вадик ошибся. Как она это определила? 6. У Димы в раза больше солдатиков, чем у Кости. У Кости на солдатиков меньше, чем у Димы. Сколько солдатиков у каждого мальчика? Количество : -0 0 мин

9 Работа 8. У Ромы в раза больше карандашей, чем у Олега. У Олега на 6 карандашей меньше, чем у Ромы. Сколько карандашей у каждого мальчика? Задания. Лифт спускается с пятого этажа на первый за 0 с. За сколько секунд лифт спустится с двадцать пятого этажа, если он движется с постоянной скоростью?. Если бы у меня было ещё столько же денег, сколько есть сейчас, и ещё половина того, что есть сейчас, и ещё рубля, у меня было бы 7 рублей. Сколько у меня сейчас денег?. Два поезда едут с одинаковой скоростью друг за другом к станции. Расстояние между ними 9 км. Первый поезд проехал через лес, проехал ещё км, и ему осталось проехать до станции в раза меньше, чем второму. Найди расстояние от станции до леса.. Весы на картинке находятся в равновесии. Какое количество букв Т уравновесит букву А? ММТА МААА М А 9 Если ММТА = МААА и М = А, то А = 6. Внучка младше бабушки на 0 лет, бабушка старше внучки в 6 раз. Сколько им лет? Количество : -0 0 мин

10 0 Работа 9. Из числа 0 вычли некоторое число. Разность делится на 6 и на 9 и не делится на. Какое число вычли?. В каждой тройке чисел расположение чисел подчинено определённой закономерности. Найди общее правило для всех троек чисел Сравни записи в столбике. Впиши недостающие результаты действий. R = KM KM : = 0 R =. У Тани в раза больше наклеек, чем у Сани, а у Сани в раза меньше наклеек, чем у Яны. Сколько наклеек у каждой девочки, если у Сани на 0 наклеек меньше, чем у Яны?. Коля, Витя, Слава и Серёжа нашли вместе грибов, причём каждый нашёл разное число грибов. Коля нашёл больше всех грибов, а Серёжа меньше всех. Витя нашёл меньше грибов, чем Слава. Сколько грибов нашёл каждый мальчик? 6. Сколько треугольников на рисунке? Количество : -0 0 мин

11 Работа 0. Отца зовут Дмитрий Валерьевич Соколов, мать Анна Михайловна Крымова. Дочь назвали в честь папиного отца. Напиши фамилию, имя и отчество девочки. Задания. У Маши на заколок больше, чем у Лены. У Лены в 8 раз меньше заколок, чем у Маши. Сколько заколок у каждой девочки?. Анна Андреевна старше, чем Полина Петровна, но моложе, чем Ирина Олеговна. Тамара Андреевна старшая сестра Анны Андреевны. Кто самый младший? Кто самый старший?. Коля поднялся на лифте с первого этажа на шестнадцатый за 0 с. За сколько секунд он поднялся бы на лифте с первого этажа на четвёртый, если лифт движется с постоянной скоростью?. Ира купила 6 пирожков, Дима 8 пирожков, а Боря пирожков. Ира заплатила на рублей меньше, чем Дима. Сколько заплатил Боря? 6. Заполни квадраты умножения Количество : -0 0 мин

12 Работа. Сумма двух чисел 9, произведение 8. Какие это числа?. Катя на года моложе Ани, а Маша на 6 лет старше Кати. Когда самой младшей из них исполнилось 8 лет, родилась Ася. На сколько лет Ася моложе Ани?. Сравни записи в столбике. Впиши недостающие результаты действий. K = ВС K0 = BC0 : K =. Девятого сентября Маше исполнилось года месяца и дня. Какого числа у Маши день рождения?. Яблок купили в раза больше, чем апельсинов, а апельсинов в раза меньше, чем бананов. Всего купили кг фруктов. Сколько килограммов каждого вида фруктов купили? 6. Ира поливала огород 0 мин. Пока она поливала, пришла Света и поливала огород мин. Сколько времени они поливали огород вместе, если от прихода Иры до ухода Светы прошло мин? Количество : -0 0 мин

Задачи 11 из ЕГЭ. Совместная работа

Сначала рассмотрим простые задачи на совместную работу с двумя участниками. Далее указан год сборника заданий для подготовки к ЕГЭ, откуда взята задача. Начнём с подготовительной задачи.

Задача 1. Валя пропалывает грядку за 40 минут, а Галя — за 10 минут. За сколько минут Валя и Галя пропалывают грядку при совместной работе?

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время Валя прополола 1 грядку.

1) 40 : 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,
2) 1 + 4 = 5 (грядок) — пропололи за 40 минут Валя и Галя при совместной работе,
3) 40 : 5 = 8 (мин) — время прополки одной грядки при совместной работе Вали и Гали.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя пропалывает 40 : 40 = 1 (м/мин), а Галя — 40 : 10 = 4 (м/мин). Валя и Галя при совместной работе пропалывают 1 + 4 = 5 (м/мин). Вдвоём они прополют грядку за 40 : 5 = 8 (мин).
Ответ. За 8 мин.

Замечание. I способ даёт нам полное решение, не зависящее от времени работы или длины грядки. II и III способы решения даны для частных случаев (можно было взять другое время работы или другую длину грядки). Полное решение получится, если мы докажем, что ответ не зависит от выбора дополнительного условия. Так как на экзамене нужно указать лишь правильный ответ, то II и III способы вполне можно применять. Чтобы обосновать III-й способ решения, можно обозначить объём работы (длину грядки) буквой и фактически повторить I-й способ решения.

Задача 2. (2018) Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя?

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время они вдвоём пропололи:

1) 40 : 8 = 5 (грядок),

2) 40 : 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

3) 5 – 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.

Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40 : 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40 : 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 – 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40 : 1 = 40 (мин).

Ответ. За 40 мин.

Задача 3. Через первый кран бассейн наполнится за 40 минут, через второй — за 60 минут, через третий — за 48 минут. За сколько минут три крана заполнят бассейн при совместной работе?

Решение. Примем всю работу за 1.

Есть ещё один способ решения, похожий на способ решения задачи про кадь кваса. Пусть трубы могут одновременно наполнять несколько бассейнов. За 240 минут первая труба наполнит 6, вторая 4, третья 5 бассейнов, а вместе — 15 бассейнов. При совместной работе три трубы тратят на 1 бассейн 240 : 15 = 16 (мин).

Задача 4. (2018) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 ч. Через 5 ч после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.

II способ. Пусть надо было обточить 30 деталей.
1) 30 : 15 = 2 (дет.) — обтачивает один рабочий за 1 ч,
2) 2 + 2 = 4 (дет.) — обтачивают два рабочих за 1 ч совместной работы,
3) 2 ∙ 5 = 10 (дет.) — обточил один рабочий за 5 ч,
4) 30 – 10 = 20 (дет.) — обточили два рабочих при совместной работе,
5) 20 : 4 = 5 (ч) — работали два рабочих вместе,
6) 5 + 5 = 10 (ч) — время выполнения всего заказа.
Ответ. За 10 ч.

Задача 5. (2018) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа выполнили одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Для решения задач, где все работники имеют одинаковую производительность труда, удобно применять единицу измерения объёма работы «человеко-день». Например, 10 чел. ∙ дней — это объём работы, который может выполнить 1 человек за 10 дней, или 5 человек за 2 дня, или 2 человека за 5 дней.

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.
1) 12 ∙ 10 = 120 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 12-ю рабочими первой бригады за 10 дней,
2) 21 ∙ 10 = 210 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 21-им рабочим второй бригады за 10 дней,
3) 210 – 120 = 90 (человеко-дней) — объём работы второй бригады, который предстоит компенсировать первой бригаде после перехода 12 рабочих,
4) 12 + 12 – (21 – 12) = 15 (чел.) — на столько рабочих стало в первой бригаде больше, чем во второй,
5) 90 : 15 = 6 (дней) — потребуется первой бригаде, чтобы наверстать отставание в объёме работы,
6) 10 + 6 = 16 (дней) — время выполнения двух заказов.

II способ. Пусть после перехода 12 рабочих бригады работали ещё x дней. Приравняем объёмы выполненной работы (в человеко-днях) двух бригад за всё время работы.
12 ∙ 10 + (12 + 12) x = 21 ∙ 10 + (21 – 12) x .
Это уравнение имеет единственный корень 6, поэтому время выполнения двух заказов равно 10 + 6 = 16 (дней).
Ответ. 16 дней.

Замечание. При решении этой задачи можно обойтись без человеко-дней, если считать, что каждый рабочий в час выполняет y единиц работы (обтачивает y деталей и т. п.). Тогда, рассуждая, как во втором способе решения, приравняем объемы работы двух бригад:

12 ∙ 10 y + (12 + 12) xy = 21 ∙ 10 y + (21 – 12) xy .

Разделив это уравнение на число y , отличное от нуля, получим то же уравнение, что и при втором способе решения задачи.

Задача 6. (2018) Игорь и Паша красят забор за 12 часов. Паша и Володя красят тот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь — за 20 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

II способ. Пусть было два Игоря, два Паши и два Володи. Мальчики с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Пусть они вшестером одновременно красят заборы 60 ч. За это время Игорь и Паша покрасят 60 : 12 = 5 (заборов), Паша и Володя — 60 : 15 = 4 (забора), а Володя и Игорь — 60 : 20 = 3 (забора). Шесть мальчиков за 60 ч покрасят
5 + 4 + 3 = 12 (заборов), на 1 забор они тратят 60 : 12 = 5 (ч), три мальчика тратят на забор в 2 раза больше времени — 10 ч.
Ответ. За 10 ч.

В следующей задаче нет совместной работы, но она решается похожим арифметическим способом.

Задача 7. (2018) Костя и Гриша выполняют одинаковый тест. Костя отвечает за час на 12 вопросов, а Гриша — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Гриши на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение. I способ.
1) 60 : 12 = 5 (мин) — тратит на 1 вопрос Костя,
2) 60 : 20 = 3 (мин) — тратит на 1 вопрос Гриша,
3) 5 – 3 = 2 (мин) — на каждый вопрос Костя тратит на 2 мин больше, чем Гриша, а всего он потратил на 90 мин больше,
4) 90 : 2 = 45 (вопросов) — в тесте.

II способ. Пусть в тесте было x вопросов.
1) 60 : 12 = 5 (мин) — Костя тратит на 1 вопрос, значит, 5 x минут тратит на все вопросы,
2) 60 : 20 = 3 (мин) — Гриша тратит на 1 вопрос, значит, 3 x минут тратит на все вопросы.
Составим уравнение:
5 x – 3 x = 90,
x = 45.
В тесте 45 вопросов.
Ответ. 45.

Задача 8. (2009) Два плотника, работая вместе, могут выполнить задание за 36 ч. Производительности труда первого и второго плотников относятся как 3 : 4. Плотники договорились работать поочерёдно. Какую часть этого задания должен выполнить второй плотник, чтобы всё задание было выполнено за 69,3 ч?

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.

Пусть первый выполнил часть работы, выражаемую дробью x , тогда второй — часть работы, выражаемую дробью 1 – x , они затратили 84 x ч и 63(1 – x ) ч соответственно при поочерёдной работе, а всего — 69,3 ч. Составим уравнение:
84 x + 63(1 – x ) = 69,3.
Это уравнение имеет единственный корень x = 0,3. Первый выполнил 0,3 работы, второй — 1 – x = 0,7.
Ответ. 0,7.

Для самостоятельного решения

9. Малыш может съесть все плюшки за 20 минут, а Карлсон — за 5 минут. За сколько минут они съедят все плюшки вместе?
10. Две бригады при совместной работе выполнят задание за 14 дней. Одна первая бригада могла бы выполнить это задание за 21 день. За сколько дней одна вторая бригада могла бы выполнить это задание?
11. Три трубы заполнили бассейн при совместной работе за 15 минут. Одна первая труба наполнит бассейн за 35 минут, а одна вторая — за 63 минуты. За сколько минут одна третья труба заполнит бассейн?
12. (2018) Коля и Митя выполняют одинаковый тест. Коля отвечает за час на 12 вопросов, а Митя — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Коля закончил свой тест позже Мити на 105 минут. Сколько вопросов содержит тест?
13. (2009) Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за
12 ч. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1 : 3. Каменщики договорились работать поочерёдно. Сколько часов должен проработать первый, чтобы это задание было выполнено за 20 ч?
14. (2009) Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда отца в 2 раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 4 ч. Однако вместе они проработали только 1 час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал в огороде отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?
15. (2019) Первый и второй насосы наполняют бассейн за 21 минуту, второй и третий — за 28 минут, первый и третий — за 36 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
16. (2018) Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Ответы. 9. За 4 мин. 10. За 42 дня. 11. За 45 мин. 12. 49 ч. 13. 6 ч. 14. 4 ч. 15. За 18 мин. 16. За 16 ч.

Для работы с классом можно использовать презентацию: